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我刊入选第二批学术期刊名单
期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN15-1362/G4
邮发代号:16-129
出版日期:每月25日

我刊投稿论文
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作者:李云昭
  【摘要】递推数列被广泛关注,是高考与竞赛的热点,由递推关系求数列通项公式时,一般要对递推关系进行变形转化。
  【关键词】变形 转化 通项公式
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)43-0136-02
  递推数列既是高考和竞赛的热点,数学爱好者也十分感兴趣,由递推关系求通项时,一般需要对递推关系式进行变形,然后利用转化和化归的思想解决问题。根据递推公式的结构,选取与之对应的方法是解决问题的关键。本文就常见几类结构进行如下总结:
  类型1:形如an+1-an=f(n)的递推数列,通常采用叠加法
  例1:已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+■(n∈N+),求通项公式an。
  解:由递推关系有:an-an-1=■
  an-1-an-2=■
  ……
  a2-a1=■
  ∴an-a1=■+■+…+■
  =1-■+■-■+■-■+…+■-■
  ∴an-a1=1-■
  故:an=-■
  类型2:形如■=f(n)的递推数列,通常采用叠乘法。
  例2:已知数列{an}中,a1=1,且(n+1)an+1-nan=0,求通项公式an。
  解:递推关系变形为:■=■
  则:■=■……(1)
  ■=■……(2)
  ……
  ■=■……(n-1)
  叠乘以上各式有:■=■×■×■…×■=■
  ∴an=■
  类型3:含有Sn和an的递推数列,通常采用“进一步”或“后一步”的办法解决问题。
  例3:数列{an}的前几项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,且n∈N),求an的通项公式。
  解:由 an+1=2Sn+1
  ∴an=2Sn-1+1(n≥2且n∈N)
  ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)
  ∴an+1-an=2an 即an+1=3an
  ∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列
  ∴an=3n-1
  例4:已知正项数列{an}的前n项和Sn=■(an+1)2,求通项公式an。
  解:递推关系变形为4Sn=a■■+2a■+1
  则:4Sn-1=a■■+2a■+1(n≥2)
  ∴4(Sn-Sn-1)=a■■-a■■+2(a■-an-1)
  ∴4a■=(a■■-a■■)+2a■-2an-1
  ∴a■■-a■■+2(a■+a■)=0
  又 ∵a■+a■≠0
  ∴a■-a■=2
  故:{a■}为等差数列。(以下略)
  类型4:形如a■=pan+q(p、q为常数)的递推数列可以转化为:a■-t=p(a■-t)型递推公式,通过求{a■-t}的通项公式,而求{a■}通项公式。
  例5:已知数列{a■}中,a1=1,a■=2an+3,求通项公式{a■}
  解:递推关系可以转化为a■-t=2(a■-t)
  即:a■=2a■-t
  解得:t=-3
  故:数列{a■+3}是以4为首项,2为公比的等比数列。
  則:a■+3=2n
  ∴a■=2n-3
  类型5:形如a■=pan+qn的递推数列可以变形为■=■·■+■转化为第4种类型处理。
  例6:已知数列{a■}中,a■=2an+2n,且a1=1,求通项式。
  解:递推关系可以变为■=■+■
  则■是首项为■,公差为■的等差数列
  则:■=■+(n-1)■=■n
  故:a■=n·2n-1
  练习:已知数列{a■}中,a1=1,an+1=3an+2n,求通项公式{a■}
  类型6:形如an+1=■的递推数列,通常采用倒数法处理
  例7:已知数列{a■}中,a1=2,an=■(n≥2且n∈N),求通项公式an
  解:由已知有■=■=1+■
  ∴■为等差数列,以下略。
  类型7:含有SnSn-1或anan-1的递推数列,通常用两边同时除以SnSn-1(或anan-1)的办法处理。
  例8:已知在数列{a■}中,a1=3,且2an=SnSn-1(n≥2),求数列的通项公式{a■}
  解:由已知有2(Sn-Sn-1)=SnSn-1(n≥2)
  则:2■-■=1
  ∴■-■=-■
  ∴■为等差数,首项为■,公差-■
  ∴■=■+(n-1)×-■=-■n+■
  故:S■=-■
  故:a■=3(n=1)■(n≥2)

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