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出版:课程教育研究杂志社
编  辑:课程教育研究杂志社
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投稿邮箱:tougao@kcjyyjzzs.com
我刊入选第二批学术期刊名单
期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN15-1362/G4
邮发代号:16-129
出版日期:每月25日

我刊投稿论文
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作者:张喆
  【摘要】微分中值定理是《高等数学》中的重要内容,是一组揭示函数与其导数之间的内在联系的公式,这组公式对于利用某函数的导数所具有的性质(局部性质)去推断该函数本身应具有的性质(整体性质)是极为重要的。在各类大型考试中,微分中值定理占有很重要的位置,是重要的考点,因此掌握这方面的解题方法和技巧十分关键。
  【关键词】微分中值定理 证明方法 高等数学
  【Abstract】Differential Mean Value Theorem is an important theoretical in the higher mathematics.Differential Mean Value Theorem is a group of formula that reveals the intrinsic link between function and its derivative, the formula for the use of the derivative of a function have the properties (local properties) to infer the nature of the function itself should have (overall nature) is extremely important.It is important to test sites,so master problem?鄄solving methods and techniques in this regard is very important.
  【Keywords】Differential Mean Value; Proof Method; Higher Mathematics
  【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)04-0100-02
  引言
  微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁作用,也是研究函数变化形态的纽带,因而在微分学中占有很重要的地位。利用微分中值定理不仅可以推出后面有关导数的各种应用方法,而且利用它们还可以求解、证明许多问题。但是这些问题往往是数学分析、高等数学中的重点、难点问题,也是考研问题中的考查重点,牵涉类型较为复杂,本文拟就微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理)的相关求解、证明问题加以梳理总结,通过对题目的分类分析,帮助学生们熟练掌握这部分内容。
  1.常见问题方法总结
  微分中值定理是微分学的基本定理,而且它也是微分学的理论核心,有着广泛的应用。以下分类总结有关问题的求解证明思路和方法。
  1.1证明不等式
  例1证明不等式■>1+■-■ (x>0)
  证:利用泰勒公式展开
  ∵■=(1+x)■=1+■+■·■(■-1)x2+■·■(■-1)(■-2)(1+θx)■x3=1+■-■+■(1+θx)■x3 (00)
  小结:证明不等式方法多样,通常利用单调性进行证明。但是特殊情况下可能会利用中值定理,如拉格朗日、柯西和泰勒中值定理来加以证明,有时可以利用凹凸性等方法,相同的一道题可以有多种解法。
  1.2 求极限
  对于有些求极限的题, 如果使用洛必达法则,求导数的计算量很大。微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法。其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极限。
  例2计算
  解:∵ex=1+x2 +x4+o(x4) cosx=1-++o(x5)
  ∴ex+2cosx-3=(+2·)x4+o(x4)
  原式==
  小结:求极限常用的两种方法。
  (1)选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求得最终结果。
  (2)利用泰勒中值定理展开函数后求解。
  1.3 证明方程根的存在性和唯一性
  例3 若f(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导(a>0),证明:在(a, b)内方程2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f '(x)至少存在一个根。
  证:令F(x)=[f(b)-f(a)]x2-(b2-a2)f(x)
  显然F(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,而且
  F(a)=f(b)a2-b2f(a)=F(b)
  根据罗尔定理,至少存在一个ξ,使
  2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2) f '(x)
  至少存在一个根。
  小结:根的存在性和唯一性问题中如果涉及导数,往往可以利用中值定理来证明:构造函数G(x),使G'(x)=f(x)-g(x),借助于罗尔定理证明根的存在性。而证明根的惟一性,常用函数的单调性或用反证法(利用拉格朗日中值定理)完成。
  1.4證明有关等式
  在证明一些出现导数和中值的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明。我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键。在遇到高阶导数或多个中值的证明问题时,可能需要多次使用中值定理或者可以直接考虑利用泰勒中值定理。
  例4设f(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,0

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