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编  辑:课程教育研究杂志社
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我刊入选第二批学术期刊名单
期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN15-1362/G4
邮发代号:16-129
出版日期:每月25日

我刊投稿论文
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  【摘要】本文研究了一类非线性常微分方程边值问题的求解,由于常微分方程与实际应用问题联系密切,文中结合了一种特定的物理现象,以此为背景建立运动微分方程,然后给出了三类边界条件,最后对有限变形问题进行求解,得到了其非平凡解。
  【关键词】非线性常微分方程 边值 求解
  【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)29-0133-02
  一、运动微分方程的导出
  首先引入Lagrange空间和Euler空间,前者代表物体变形前占有的空间,后者表示物体变形后占有的空间。物体在Lagrange空间中所占的区域被称为初始构型,记为Ω0,物体在Euler空间中所占的区域被称为现时构形,记为Ω。对于连续介质中任意给定的物质点,它在初始构型中的物质坐标(X1,X2,X3)是确定不变的,它在现时构形中的位置坐标(x1,x2,x3)随着变形的不同而不同。
  x=x(X,t)
  X=X(x,t)
  由运动方程(1)和(2),可得
  dx=FdX,dX=F■dx
  方程(3)也可表示为:
  dxk=xk,KdXK
  方程(3)中F是式(1)的雅克比矩阵,被称为变形梯度张量,是一个二阶张量,并且有:
  F=■或者F■=■=xk,K
  对F进行分解,可以得到F的如下所示极分解表达式:
  F=RU=VR
  其中,R是一个正交张量;U和V表示的是伸长部分,它们是对称正定张量,有相同的特征值。由(6)式可以推出
  C=U■=F■F,B=V■=FF■
  其中,C称为右柯西-格林变形张量或者Green变形张量,B被称为左柯西-格林变形张量或Finger变形张量。
  两个变形张量具有三个相同的主不变量:
  I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■,
  I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■,
  I■=λ■■λ■■λ■■
  变形后的线元dx、面元da和体元dv分别为
  dx=FdX,dxk=Xk,KdXK,
  da=JF■dA,da■=JX■dA■,
  dv=JdV.
  其中,J=det|F|。由此可以得到物体变形的不可压缩条件为:
  J=det|F|=1.
  根据质量守恒定律可以导出物体初始构形的体密度ρ0和现时构形的体密度ρ之间应该满足的局部的连续性方程为:
  ρJ=ρ0
  在物体的现时构形中,作用于物体面元上并且以n为外法线的应力矢量为
  t(X,t,n)=σn,
  其中,σ=(σij)称为Cauchy应力张量,它只依赖于位置X及时间t,而不依赖于外法线矢量n。
  根据Cauchy第一运动定律,可导出运动微分方程:
  divσ+ρf=ρX
  进一步地,可以根据Cauchy第二定律计算得到应力张量的对称性,即
  σ■=σ,σ■=σ■
  二、边界条件及方程求解
  3.1 边界条件
  假设物体在初始构形中占有的区域为Ω0,边界为?坠Ω0。在现时构形中,物体占有的区域为Ω,边界为?坠Ω。则有以下三种可能的边界条件:
  (a)位移边界条件
  设在边界?坠Ω0上,位移场u=x-X是已知的,则在?坠Ω0上有
  u=■(X) (19)
  其中,■(X)是关于X的已知函数。
  (b)面力边界条件
  在现时构形单位面积上的应力矢量t,可以用作用在初始构形单位面积上的应力矢量P来表示,即有
  tda=PdA (20)
  其中,da,dA分别是现时构形和初始构形中物质面元的面积,则应力矢量P与第一类Piola-Kirchhoff应力张量S有如下的关系
  P=Sn, (21)
  在拉格朗日框架内,给定面力的边界条件可表示为
  Sn=■(X) (22)
  (c)混合边界条件
  设边界?坠Ω0=?坠Ω■■∪?坠Ω■■,在边界?坠Ω■■上给定面力矢量■(X),在边界?坠Ω■■上给定位移矢量,■(X),则混合边界条件为
  u=■(X),X∈?坠Ω■■ (23)
  Sn=■(X),X∈?坠Ω■■ (24)
  3.2 方程的求解
  设球形结构的内外半径分别为R1和R2.在球坐标中,设变形前球体占有的区域为D0,在球对称变形的假设下,变形后的构形为D。变形的主伸长λi及变形梯度张量F分别为
  λr=r(R),λθ=λ?准=r(R)/R, (25)
  F=diag(λr,λθ,λ?准) (26)
  其中,字母上面的“点”都表示关于变量R的导数。
  变形梯度张量F的雅克比行列式J=detF=1,从而有
  r(R)=R■/r■(R). (27)
  柯西應力张量的各个非零分量为
  ■ σ■(R)=λi■-p(R), (28)
  其中,p是对应于不可压缩条件λr,λθ,λ?准=1的静水压力,是一个待定函数。另外,此处重复的下标i不表示求和。
  由(28)式,可得
  σ■(R)=λr■-p(R), (29)
  σ■(R)=σ?准?准(R)=λθ■-p(R), (30)
  对(27)式积分,得到
  r(R,c)=(R■+c■)■,R■≤R≤R■ (31)
  由式(25)和式(31)可以得到
  λr=(1+■)■,λθ=λ?准=(1+■)■ (32)
  为了方便后面的应用,引入统一的无量纲记号:
  η=η(R,c)=■=(1+■)■,x=■,δ=■ (33)
  把式(32)重新记为
  λr=η■,λθ=λ?准=η (34)
  而且应变能函数(3.6)可记为
  ■(η)=W(η■,η,η■) (35)
  将上面(33)(34)(35)带入球形结构的任意平衡构形的总能量方程得到
  ■(x)=■=3x■■■dη-3p■[(1+x■)■-1] (36)
  根据最小势能原理,对应于球形结构的任意构形的平衡街可以由以下方程求得:
  ■=0 (37)
  把式(36)带入式(37)中,得到
  x■[(1+x■)■■■dη-p■]=0 (38)
  显然,对任意给定的p0>0,x=0即c=0,恒满足方程(38),次时球形结构内半径仍为R1,因此,称x=0为有限变形问题的平凡解。若存在x>0,即c>0,则有
  p■=(1+x■■)■■■dη (39)
  称式(39)为有限变形问题的非平凡解。不难看出,对于给定的结构参数δ和不可压缩超弹性材料,球形结构内部的径向有限变形由方程(39)唯一确定。
  参考文献:
  [1]贺爱娟. 一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析[D].烟台大学,2008.
  [2]李兴昌.非线性算子不动点理论与常微分方程正解的讨论[D].曲阜师范大学,2012.
  [3]胡银萍.具有积分边界条件的二阶微分方程解的存在与唯一性[D].天津财经大学,2012.

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