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编  辑:课程教育研究杂志社
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我刊入选第二批学术期刊名单
期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN15-1362/G4
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出版日期:每月25日

我刊投稿论文
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  【摘要】解析函数作为一种具有某种特性的可导函数,在我们研究复变函数时,常常将其作为研究的主要对象。研究解析函数的性质,对我们正确分析、判断复变函数有着十分重要的作用。本文研以函数f(z)在域D内解析为背景,探讨了f(z)解析函数的几个典型性质与应用时需要注意的问题。
  【关键词】函数 解析函数 函数性质
  【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)38-0134-01
  一、什么是解析函数
  解析函数能够揭示函数非常多的重要信息,因此我们在研究复变函数时常常会应用到它。关于它的的定义,用公式表示为:函数f(z)在某一域D内可导,即f(z)称为D内的解析函数。解析函数表现了函数的解析性特征,而函数的解析性总是与某一域联系在一起。只有在某一域中,解析函数才能得以实现。从这个角度来讲,解析函数其实就是函数在某一域中某一点的解析,并且,在这该点及其领域,函数处处可导。所有的三角函数(如sin z,cos z)都为解析函数。关于解析函数的零点与奇点:若f(z)在域D内a点的对应值为0,即a点称为f(z)的零点(零点的阶段都是正整数)。若f(z)在a点与邻域处处不可导,或虽可导但不解析,则a点称为f(z)的奇点(孤立奇点是解析函数中最重要的一个奇点)。
  二、解析函数性质分析
  假设f(z)是某一域D的解析函数,则解析函数f(z)有以下几种性质。
  其一,f(z)具有唯一性特征。若f1(z)、f2(z)都是域D內的解析函数,且f1(z)、f2(z)在一个收敛于D的a点(a∈D但a≠zn)的对应值相同,那么f1(z)、f2(z)在域D内恒等。若f1(z)、f2(z)在域D某一区域内恒等,那么二者也在域D内恒等。同时,f1(z)、f2(z)在z实轴上恒等,那么二者也在z平面上恒等。
  其二,若f(z)是某一域D内的解析函数,则二解析函数f1(z)、f2(z)以及f1(z)与f2(z)之和也是域D内的解析函数,即f1(z)、f2(z)在D内某一点可导,且二者之和在该点同样可导。同样,若f′1(z)、f′2(z)在D内连续,则二者之和同样连续。这里仅仅说明了二解析函数与其和是D内的解析函数,除此之外,则二解析函数f1(z)、f2(z)的和、差、积、商都是该域D的内的解析函数。基于此性质,在实际计算解析函数时,我们可以自由地将其对应的二解析函数进行差、和、积与商运算,以便于运算,快速求解。
  其四,f(z)在D内每一点都满足柯西-黎曼条件。若f(z)在D内可导,那么f(z)在D内解析的一个重要条件就是f(z)在D内每一点都满足柯西-黎曼条件。这也就是说,f(z)在D内具有实部与虚部之间的联系。通过这种联系,我们可以通过实部(虚部),通过柯西-黎曼方程,计算出相对应的虚部(实部)。需要说明的是,f(z)在D内的实部与虚部之间的联系是一种相互依赖关系,并不是谁决定谁的关系,二者互相影响,互相作用。很多时候,我们可以将二者形象化地表现出来,这样会更加直观地分析解析函数。例如,在计算两族曲线切线方向时,通过设定两个常数组,再由柯西-黎曼方程计算出两族曲线切线方向之间的标积,就会得出对应解析函数的实部与虚部。另外还需要说明的是,解析函数的实部与虚部必须满足二维拉普拉斯方程,即两者必须是调和函数。
  其五,设域D有边界,边界为L,若f(z)在该域内解析,在D=D+L上连续,则f(z)在D内有任意阶导数,即f(z)在D内有无穷可导性。解析函数的这种特性,可以便于我们计算一些周线积分。需要注意的是,如果被积函数在D边界C内部有两个以上的不解析点,则不能直接应用它们。
  结语
  解析函数能够揭示函数非常多的重要信息,因此我们在研究复变函数时常常会应用到它。正确分析与判断解析函数的概念,并熟练掌握它的性质,能够给我们数学、力学和工程学等领域的工作带来很大的帮助。
  参考文献:
  [1]杨明顺,涂娅娟.解析函数定义的等价性[J].价值工程,2012(10).
  [2]曹海涛,张伟杰.解析函数教学探讨[J].黑龙江教育(高教研究与评估版),2013(7).
  [3]郭栋,黄金超.一类解析函数的性质[J].西华大学学报(自然科学版),2015(34).

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